Bâille baye !

Il existe trois manières d'écrire bâiller, bailler ou bayer. 

Le premier, avec l'accent circonflexe sur le a (et non sur le i) est le plus courant, le plus connu : il signifie ouvrir involontairement la bouche, parce qu'on a faim, parce qu'on a sommeil, parce qu'on s'ennuie ou parce qu'on est fatigué (ce qui donne beaucoup d'occasions de bâiller, vous en conviendrez).

On bâille d'ennui ou de fatigue, comme l'on peut bâiller tout court puisque c'est un verbe intransitif.

Une jupe, un chemisier ou une porte peuvent également bâiller quand ils sont mal joints,  entrouverts ou carrément béants.

En revanche, si c'est une bouche qui bée d'admiration ou d'étonnement, on utilisera alors le verbe bayer, comme dans les expressions consacrées, bayer aux corneilles, aux grues (rêvasser les yeux en l'air), aux chimères, ou aux nuées (désirer des choses impossibles).

Le sens de bayer, intransitif comme son homonyme, s'apparente alors à s'ouvrir (et non être déjà ouvert, comme pour bâiller).

Il y a un troisième bailler, transitif celui-là, dont les différents sens n'ont rien à voir avec les deux premiers : archaïque et idiomatique, il signifie donner (faire don), remettre, livrer, représenter. On baille des fonds comme on baille un coup de main, par exemple ; populaire familier, on la baille belle ou bonne quand on duper une personne en lui faisant miroiter un miroir aux alouettes.